Introducción.
Aprender matemáticas, física y química “es muy difícil”; así se expresan
la mayoría de estudiantes de todos los niveles, sin embargo pocas veces se
busca una explicación del porqué no aprenden las ciencias exactas los alumnos.
Nuestra teoría es la siguiente: “Los alumnos no aprenden ciencias exactas,
porque no saben relacionar las conocimientos que se proporcionan en la escuela
(leyes, teoremas, formulas) con los problemas que se le presentan en la vida
real”. Otro problema grave es que el aprendizaje no es significativo. El
presente trabajo pretende motivar a los estudiantes para que con ayuda de la
“lógica matemática”, él sea capaz de encontrar estos relacionamientos entre los
diferentes esquemas de aprendizaje, para que de esta manera tenga una buena
estructura cognitiva. Consideramos que si el alumno sabe lógica matemática
puede relacionar estos conocimientos, con los de otras áreas para de esta
manera crear conocimiento.
La lógica es pues muy importante; ya que permite resolver incluso
problemas a los que nunca se ha enfrentado el ser humano utilizando solamente
su inteligencia y apoyándose de algunos conocimientos acumulados, se pueden
obtener nuevos inventos innovaciones a los ya existentes o simplemente
utilización de los mismos.
El orden en que se presenta el documento es el siguiente: Primeramente
se establece la importancia de la lógica matemática, después definimos el
concepto de proposición. Se establece el significado y utilidad de conectivos
lógicos para formar proposiciones compuestas. Más tarde abordamos las
proposiciones condicionales y bicondicionales. Definimos tautología,
contradicción y contingente, y proporcionamos una lista de las
tautologías más importantes, así mismo explicamos a que se le llama
proposiciones lógicamente equivalente apoyándonos de tablas de verdad. Para
finalizar; abordamos los métodos de demostración: directo y por contradicción,
en donde incluye reglas de inferencia.
En este trabajo se trata además de presentar las explicaciones con
ejemplos que le sean familiares. Nuestro objetivo es que el alumno aprenda a
realizar demostraciones formales por el método directo y el método por
contradicción. Ya que la mayoría de los libros comerciales únicamente se quedan
en explicación y demostración de reglas de inferencia. Consideramos que sí el
alumno aprende lógica matemática no tendrá problemas para aprender ciencias
exacta y será capaz de programar computadoras, ya que un programa de
computadora no es otra cosa que una secuencia de pasos lógicos, que la persona
establece para resolver n problema determinado.
Es importante mencionar que en las demostraciones no hay un solo camino
para llegar al resultado. El camino puede ser más largo o más corto dependiendo
de las reglas de inferencia y tautologías que el alumno seleccione, pero
definitivamente deberá llegar al resultado. Puede haber tantas soluciones como
alumnos se tenga en clase y todas estar bien. Esto permite que el estudiante
tenga confianza en la aplicación de reglas y fórmulas. De tal manera que cuando
llegue a poner en practica esto, él sea capaz de inventar su propia solución,
porque en la vida cada quien resuelve sus problemas aplicando las reglas de
inferencia para relacionar los conocimientos y obtener el resultado.
Desarrollo.
La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de
razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas
para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se
emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación
para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias
física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en
las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de
problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para
realizar cualquier actividad.
Proposiciones y operaciones lógicas.
Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o
verdadera pero no ambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de
la lógica matemática.
A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no
válidas, y se explica por qué algunos enunciados no son proposiciones. Las
proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la
proposición propiamente dicha. Ejemplo.
p: La tierra es plana.
q: -17 + 38 = 21
r: x > y-9
s: El Morelia será campeón en
la presente temporada de Fut-Bol.
t: Hola ¿cómo estás?
w: Lava el coche por favor.
Los incisos p y q sabemos que pueden
tomar un valor de falso o verdadero; por lo tanto son proposiciones válidas.
El inciso r también es una proposición valida, aunque el
valor de falso o verdadero depende del valor asignado a las variables x y y en
determinado momento. La proposición del inciso s también está
perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera se tendría
que esperar a que terminara la temporada de fútbol. Sin embargo los
enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden
tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una
orden.
Conectivos lógicos y proposiciones compuestas.
Existen conectores u operadores lógicas que permiten formar
proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones). Los operadores o
conectores básicos son:
Operador and (y)
Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que
se pueda obtener un resultado verdadero. Si símbolo es: {Ù, un punto (.), un
paréntesis}. Se le conoce como la multiplicación lógica:
Ejemplo.
Sea el siguiente enunciado “El coche enciende cuando tiene gasolina en
el tanque y tiene corriente la batería”
Sean:
p: El coche enciende.
q: Tiene gasolina el tanque.
r: Tiene corriente la batería.
De tal manera que la representación del enunciado anterior usando
simbología lógica es como sigue:
p = q Ù r
Su tabla de verdad es como sigue:
q
|
r
|
p = q Ù r
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
Donde.
1 = verdadero
0 = falso
En la tabla anterior el valor de q=1 significa que el tanque tiene
gasolina, r=1 significa que la batería tiene corriente y p = q Ù r=1 significa
que el coche puede encender. Se puede notar que si q o r valen cero implica que
el auto no tiene gasolina y que por lo tanto no puede encender.
Operador Or (o)
Con este operador se obtiene un resultado verdadero cuando alguna de las
proposiciones es verdadera. Se e indica por medio de los siguientes símbolos: {Ú,+,È}.
Se conoce como la suma lógica. Ejemplo.
Sea el siguiente enunciado “Una persona puede entrar al cine si compra
su boleto u obtiene un pase”. Donde.
p: Entra al cine.
q: Compra su boleto.
r: Obtiene un pase.
q
|
r
|
p = q Ù r
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
q
|
r
|
p =q Ú r
|
||
1
|
1
|
1
|
||
1
|
0
|
1
|
||
0
|
1
|
1
|
||
0
|
0
|
0
|
Operador Not (no)
Su función es negar la proposición. Esto significa que sí alguna
proposición es verdadera y se le aplica el operador not se obtendrá su
complemento o negación (falso). Este operador se indica por medio de los
siguientes símbolos: {‘, Ø,-}. Ejemplo.
|
p
|
p’
|
1
|
0
|
0
|
1
|
Además de los operadores básicos (and, or y not) existe el operador xor,
cuyo funcionamiento es semejante al operador or con la diferencia en que su
resultado es verdadero solamente si una de las proposiciones es cierta, cuando
ambas con verdad el resultado es falso.
En este momento ya se pueden representar con notación lógica enunciados
más complejos. Ejemplo
Sean las proposiciones:
p: Hoy es domingo.
q: Tengo que estudiar teorías del aprendizaje.
r: Aprobaré el curso.
El enunciado: “Hoy es domingo y tengo que estudiar teorías de
aprendizaje o no aprobaré el curso”. Se puede representar simbólicamente de la
siguiente manera:
p Ù qÚ r
Por otro lado con ayuda de estos operadores básicos se pueden formar los
operadores compuestos Nand (combinación de los operadores Not y And), Nor
(combina operadores Not y Or) y Xnor (resultado de Xor y Not).
Proposiciones condicionales.
Una proposición condicional, es aquella que está formada por dos
proposiciones simples (o compuesta) p y q. La cual se indica de la siguiente
manera:
p ®
q
Se lee “Si p entonces q”
Ejemplo.
El candidato del PRI dice “Si salgo electo presidente de la
República recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año”. Una
declaración como esta se conoce como condicional. Su tabla de verdad es la
siguiente:
Sean
p: Salió electo Presidente de la República.
q: Recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año.
De tal manera que el enunciado se puede expresar de las siguiente
manera.
p ® q
Su tabla de verdad queda de la siguiente manera:
p
|
q
|
p ® q
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
La interpretación de los resultados de la tabla es la siguiente:
Considere que se desea analizar si el candidato presidencial mintió con
la afirmación del enunciado anterior. Cuando p=1; significa que salió
electo, q=1 y recibieron un aumento de 50% en su sueldo, por lo
tanto p ® q =1; significa que el candidato dijo la verdad en su campaña. Cuando
p=1 y q=0 significa que p ® q =0; el candidato mintió, ya que salió
electo y no se incrementaron los salarios. Cuando p=0 y q=1 significa que
aunque no salió electo hubo un aumento del 50% en su salario, que posiblemente
fue ajeno al candidato presidencial y por lo tanto; tampoco mintió de tal
forma que p ® q =1.
Proposición bicondicional.
Sean p y q dos proposiciones entonces se puede indicar la proposición
bicondicional de la siguiente manera:
p «
q
Se lee “p si solo si q”
Esto significa que p es verdadera si y solo si q es también verdadera. O
bien p es falsa si y solo si q también lo es. Ejemplo; el enunciado siguiente
es una proposición bicondicional.
“Es buen estudiante, si y solo sí; tiene promedio de diez”
Donde:
p: Es buen estudiante.
q: Tiene promedio de diez.
Por lo tanto su tabla de verdad es.
p
|
q
|
p « q
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
|
A partir de este momento, ya se está en condiciones de representar
cualquier enunciado con conectores lógicos.
Ejemplo.
Sea el siguiente enunciado “Si no pago la luz, entonces me
cortarán la corriente eléctrica. Y Si pago la luz, entonces me quedaré
sin dinero o pediré prestado. Y Si me quedo sin dinero y pido prestado,
entonces no podré pagar la deuda, si solo si soy desorganizado”
Donde:
p: Pago la luz.
q: Me cortarán la corriente eléctrica.
r: Me quedaré sin dinero.
s: Pediré prestado.
t: Pagar la deuda.
w: soy desorganizado.
(p’ ® q) Ù [p ® (rÚs) ] Ù [(rÙ s) ® t’ ] « w
Tablas de verdad.
En estos momentos ya se está en condiciones de elaborar cualquier tabla
de verdad. A continuación se presenta un ejemplo para la proposición [(p®q)Ú
(q’Ùr) ]« (r®q).
p
|
q
|
r
|
q’
|
p®q
|
(q’Ùr)
|
(p®q)Ú (q’Ùr)
|
r®q
|
[(p®q)Ú (q’Ùr) ]« (r®q)
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
El número de líneas de la tabla de verdad depende del número de
variables de la expresión y se puede calcular por medio de la siguiente
formula.
No de líneas = 2n
Donde n = número
de variables distintas.
Es importante destacar a medida que se avanza en el contenido del
material el alumno deberá participar activamente. Estos significa que cuando se
está definiendo proposiciones y características propias de ellas, además de los
ejemplos que el maestro explique, el alumno deberá citar proposiciones
diferentes, deberá entender por qué un enunciado no es válido. Cuando se ven
conectores lógicos, los alumnos deberán saber emplearlos en la representación
de proposiciones más complejas. Pero algo muy importante, es que los ejemplo
que el maestro y los alumnos encuentren en la clase, deben ser de interés para
el estudiante. Cuando se ven tablas de verdad el alumno deberá saber
perfectamente bien el porqué de cada uno de los resultados. En pocas palabras
el conocimiento deberá ser significativo.
Tautología y contradicción.
Tautología, es aquella proposición (compuesta) que es cierta para todos
los valores de verdad de sus variables. Un ejemplo típico es la
contrapositiva cuya tabla de verdad se indica a continuación.
p
|
q
|
p’
|
q’
|
p®q
|
q’®p’
|
(p®q)«(q’®p’)
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
Note que en las tautologías para todos los valores de verdad el
resultado de la proposición es siempre 1. Las tautologías son muy importantes
en lógica matemática ya que se consideran leyes en las cuales nos podemos
apoyar para realizar demostraciones.
A continuación me permito citar una lista de las tautologías más
conocidas y reglas de inferencia de mayor uso en las demostraciones formales
que obviamente el autor no consideró...
1.-
Doble negación.
a). p''Ûp
2.-
Leyes conmutativas.
a). (pÚq)Û(qÚp)
b). (pÙq)Û(qÙp)
c). (p«q)Û(q«p)
3.-
Leyes asociativas.
a). [(pÚq)Úr]Û[pÚ(qÚr)]
b. [(pÙq)Ùr]Û[pÙ(qÙr)]
4.-
Leyes distributivas.
a). [pÚ(qÙr)]Û[(pÚq)Ù(pÚr)]
b. [pÙ(qÚr)]Û[(pÙq)Ú(pÙr)]
5.-
Leyes de idempotencia.
a). (pÚp)Ûp
b). (pÙp)Ûp
6.-
Leyes de Morgan
a). (pÚq)'Û(p'Ùq')
b). (pÙq)'Û(p'Úq')
c). (pÚq)Û(p'Ùq')'
b). (pÙq)Û(p'Úq')'
7.-
Contrapositiva.
a). (p®q)Û(q'®p')
8.-
Implicación.
a). (p®q)Û(p'Úq)
b). (p®q)Û(pÙq')'
c). (pÚq)Û(p'®q)
d). (pÙq)Û(p®q')'
e). [(p®r)Ù(q®r)]Û[(pÙq)®r]
f). [(p®q)Ù(p®r)]Û[p®(qÙr)]
9.-
Equivalencia
a). (p«q)Û[(p®q)Ù(q®p)]
10.-
Adición.
a). pÞ(pÚq)
11.-
Simplificación.
a). (pÙq)Þp
12.-
Absurdo
a). (p®0)Þp'
13.-
Modus ponens.
a). [pÙ(p®q)]Þq
14.-
Modus tollens.
a). [(p®q)Ùq']Þp'
15.-
Transitividad del «
a). [(p«q)Ù(q«r)]Þ(p«r)
16.-
Transitividad del ®
a). [(p®q)Ù(q®r)]Þ(p®r)
17.-
Mas implicaciones lógicas.
a). (p®q)Þ[(pÚr)®(qÚs)]
b). (p®q)Þ[(pÙr)®(qÙs)]
c). (p®q)Þ[(q®r)®(p®r)]
18.-
Dilemas constructivos.
a). [(p®q)Ù(r®s)]Þ[(pÚr)®(qÚs)]
b). [(p®q)Ù(r®s)]Þ[(pÙr)®(qÙs)]
Contradicción es aquella proposición que
siempre es falsa para todos los valores de verdad, una de las mas usadas y más
sencilla es pÙp’ . Como lo muestra su correspondiente tabla de verdad.
p
|
p’
|
pÙp’
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
Si en el ejemplo anterior
p: La puerta es verde.
La proposición pÙp’ equivale a decir que “La puerta es verde y la
puerta no es verde”. Por lo tanto se está contradiciendo o se dice que es
una falacia.
Una proposición compuesta cuyos resultados en sus deferentes líneas de
la tabla de verdad, dan como resultado 1s y 0s se le llama contingente.
Equivalencia lógica.
Se dice que dos proposiciones son lógicamente equivalentes, o
simplemente equivalentes. Si coinciden sus resultados para los
mismos valores de verdad. Se indican como p º q.
Considero que un buen ejemplo es el que se estableció para ilustrar la
tautología en donde se puede observar que las columnas de (p®q) y
(q’®p’) para los mismo valores de verdad, por lo tanto se puede establecer que
(p®q) º (q’®p’)
Reglas de inferencia.
Los argumentos basados en tautologías representan métodos de
razonamiento universalmente correctos. Su validez depende solamente de la forma
de las proposiciones que intervienen y no de los valores de verdad de las
variables que contienen. A esos argumentos se les llama reglas de
inferencia. Las reglas de inferencia permiten relacionar dos o más
tautologías o hipótesis en una demostración.
Ejemplo 1
¿Es válido el siguiente argumento?
Si usted invierte en el mercado de valores, entonces se hará rico.
Si se hace usted rico, entonces será feliz.
____________________________________________________
\Si
usted invierte en el mercado de valores, entonces será feliz.
Sea:
p: Usted invierte en el mercado de valores.
q: Se hará rico.
r: Será feliz
De tal manera que el enunciado anterior se puede representar con
notación lógica de la siguiente manera:
p ® q
q ® r
______
\ p ®
r
Ejemplo 2.
¿Es válido el siguiente argumento?
Si bajan los impuestos, entonces se eleva el ingreso
El ingreso se eleva.
_________________________________________
\Los
impuestos bajan
Solución:
Sea
p: Los impuestos bajan.
q: El ingreso se eleva.
p ® q
q
_____
\p
El aplicar la regla de inferencia es lo que le cuesta más al alumno y se
deberá poner mucha atención para que el alumno aprenda a aplicar dicha regla.
En una demostración no solamente hay tautologías e hipótesis, también
existen reglas de inferencia que permiten obtener nuevas líneas válidas, esta
es la parte en donde la mayoría de alumnos tienen problemas y en donde no sabe
que regla aplicar para resolver un determinado problema. A continuación se cita
una lista de las principales reglas de inferencia que se pueden aplicar en una
demostración.
19.-
Adición
23.- Conjunción
p
p
_______
q
\pÚq
_________
\ p Ùq
20.-
Simplificación
24.- Modus pones
p Ùq
p
____________
p®q
\
p
_________
\ q
21.- Silogismo
disyuntivo
25.- Modus tollens
pÚq
p®q
p’
q’
_________
___________
\
q
\ p’
22.- Silogismo hipotético
p®q
q®r
________
p®r
Métodos de demostración.
Demostración por el método directo.
Supóngase que p®q es una tautología, en donde p y q pueden ser
proposiciones compuestas, en las que intervengan cualquier número de variables propositivas,
se dice que q se desprende lógicamente de p. Supóngase una implicación de la
forma.
(p1 Ù p2 Ù.......Ù pn) Þ q
Es una tautología. Entonces está implicación es verdadera sin importar
los valores de verdad de cualquiera de sus componentes. En este caso, se dice
que q se desprende lógicamente de p1,p2,......,pn. Se escribe.
p1
p2
.
.
.
pn
___
\ q
Realmente el camino que se debe seguir para llevar a cabo una
demostración formal usando el método directo. Significa que sí se sabe que p1
es verdadera, p2 es verdadera,...... y pn también es verdadera, entonces se
sabe que q es verdadera.
Prácticamente todos los teoremas matemáticos están compuestos por implicaciones
de este tipo.
(p1 Ù p2 Ù.......Ù pn) Þ q
Donde la pi es llamada hipótesis o premisas, y q es llamada conclusión.
“Demostrar el teorema”, es demostrar que la implicación es una tautología. Note
que no estamos tratando de demostrar que q (la conclusión) es verdadera, sino
solamente que q es verdadera si todas las pi son verdaderas.
Toda demostración debe comenzar con las hipótesis, seguidas de las
tautologías y reglas de inferencia necesarias, hasta llegar a la conclusión.
A continuación se prueba un enunciado en donde se puede apreciar el uso
tanto de las tautologías como de las reglas de inferencia.
Sean
p:
Trabajo.
q:
Ahorro.
r:
Compraré una casa.
s:
Podré guardar el coche en mi casa.
Analizar el siguiente argumento:
"Si trabajo o ahorro, entonces compraré una casa. Si compro una
casa, entonces podré guardar el coche en mi casa. Por consiguiente, si no puedo
guardar el coche en mi casa, entonces no ahorro".
El
enunciado anterior se puede representar como:
p Ú q
® r;
y r ®
s;
entonces s' ® q'
Equivale también a probar el siguiente teorema:
[(p Ú
q) ® r] Ù [r ® s] Þ [s' ® q']
Como
se trata de probar un teorema de la forma general:
p1 Ù
p2 Ù......Ù pn Þ q
Se
aplica el procedimiento general para demostración de enunciados válidos. A
continuación se demuestra el teorema respaldando cada uno de sus pasos en
tautologías o reglas de inferencia ya conocidas.
1.-
(p Ù q) ®
r
Hipótesis
2.- r ®
s
Hipótesis
3.- q ® (q Ù
p)
Adición tautología 10
4.- q ® (p Ú
q)
3; ley conmutativa, regla 2
5.- q ®
r
4,1; silogismo hipotético, regla 22
6.- q ®
s
5,2; regla 22
7.- s' ®
q'
6; contrapositiva, regla 7.
El
enunciado es válido aunque la conclusión puede ser falsa o verdadera.
Es recomendable numerar cada uno de los pasos. Se puede notar que las
primeras líneas son hipótesis, la línea 3 es una tautología conocida y de la
línea 4 a 7 se obtuvieron aplicando reglas de inferencia. Se indica la regla de
inferencia aplicada por medio del número de la derecha, y las líneas a las
cuales se les aplicó dicha regla de inferencia por medio de los números
de la izquierda.
El ejemplo anterior es una demostración sencilla, pero puede ser
tan complicada como sea necesario y el método debe funcionar.
Demostración por contradicción.
El procedimiento de la demostración por contradicción es semejante a la
que se realizó por el método directo con la diferencia de que las líneas
iniciales de dicha demostración no son únicamente las hipótesis, sino además se
incluye en la demostración una línea con la negación de la conclusión. Por otro
lado el objetivo de la demostración es llegar a una contradicción.
La demostración del siguiente teorema por el método de contradicción es
como se indica
[p ® (p Ù r) ] Ù [(q Ú s) ® t ]Ù (p Ú s) Þ t
Demostración
1.- p ® (p Ù
r)
Hipótesis
2.- (q Ú s) ®
t
Hipótesis
3.- p Ú
s
Hipótesis
4.-
t’
Negación de la conclusión
5.- (qÚ
s)’
2,4; Modus tollens, regla 25
6.- q’ Ù
s’
5; Ley de Morgan, 6ª
7.-
q’
6; Simplificación, regla 20
8.- s’ Ù
q’
6; Ley conmutativa, 2b
9.-
s’
8; Simplificación, regla 20
10.- sÚ
p
3; Ley conmutativa, 2ª
11.-
p
10,9; Silogismo disyuntivo, regla 21
12.- q Ù
r
11,1; Modus ponens, regla 24
13.-
q
12; Simplificación, regla 29
14.- q Ù
q’
13,7; Conjunción, regla 23
15.- Contradicción.
Note que juntamente con las premisas se debe incluir la negación de la
conclusión. En este momento el alumno ya tiene los elementos para llevar a cabo
demostraciones con el apoyo del maestro. Es conveniente plantear varios
enunciados, para que el alumno los represente con simbología lógica en forma de
teorema. Que ese mismo teorema lo represente con su tabla de verdad y haga la
correspondiente demostración por los dos métodos antes mencionados
La forma en que el aprende a aplicar reglas de inferencia es semejante a la manera en que deberá realizar una factorización o una aplicación de una fórmula en cálculo diferencial o integral o la fórmula que debe aplicar para resolver un problema en física. Lo que debe aprender es a relacionar los distintos conocimientos para poder llegar a la solución. Es importante mencionar que el camino que debe seguir el alumno no es el mismo que el maestro siguió sino uno distinto pero que ambos llegan al resultado.
La forma en que el aprende a aplicar reglas de inferencia es semejante a la manera en que deberá realizar una factorización o una aplicación de una fórmula en cálculo diferencial o integral o la fórmula que debe aplicar para resolver un problema en física. Lo que debe aprender es a relacionar los distintos conocimientos para poder llegar a la solución. Es importante mencionar que el camino que debe seguir el alumno no es el mismo que el maestro siguió sino uno distinto pero que ambos llegan al resultado.
Bibliografía.
Libro
|
Autor
|
Editorial
|
Estructuras de Matemáticas Discretas
|
Bernard Kolman, Robert C. Bisby, Sharon Ross
|
Prentice Hall
|
Elements of Discrete Mathematics
|
C.L.Liu
|
Mc graw Hill
|
Matemáticas Discreta y Combinatoria
|
Ralph P. Grimaldi
|
Addiso Wesley
|
Matemáticas Discretas con aplicación a las ciencias de la computación
|
Jean Paul Tremblay, Ram Manohar
|
CECSA
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Matemáticas Discretas
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Kenneth A. Ross, Charles R.B. Wright
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Prentice Hall
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Matemática Discreta y Lógica
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Winfried Karl, Jean Paul Tremblay
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Prentice Hall
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Matemáticas Discretas
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Richard Johnsonbaugh
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Gpo. Editorial Iberoamerica
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